*** Une propriété de l'ellipse

Cet exercice se propose de démontrer la propriété suivante. 

Propriété

Soit \(\mathcal E\) une ellipse et \(\text{P}\) un point appartenant à \(\mathcal E\). Il existe deux points fixes \(\text{A}\) et \(\text{B}\), appelés foyers de l'ellipse, tels que les angles aigus formés par les droites \(\text{(AP)}\) et \(\text{(BP)}\) avec la tangente en \(\text{P}\) à l'ellipse sont de même mesure.

Le fichier de géométrie dynamique suivant illustrer la situation.

En déplaçant le point \(\text{P}\), observer cette propriété énoncée.

On veut démontrer cette propriété.
Le cercle de centre \(\text{P}\) et rayon \(\text{PA}\) coupe la droite \(\text{(BP)}\) en \(\text{J}\) et en \(\text{E}\). Soit \(\text{F}\) l'intersection du segment \(\text{[AE]}\) et de la tangente à l'ellipse en \(\text{P}\). Soit \(\text{H}\) l'intersection de la tangente à l'ellipse en \(\text{P}\) avec le cercle du côté opposé à \(\text{F}\). Dans le fichier de géométrie dynamique, on peut afficher la construction.

1. Démontrer que les triangles \(\text{PFE}\) et \(\text{PFA}\) sont égaux.
2. Justifier que \(\widehat{\text{JPH}}=\widehat{\text{EPF}}\).
3. Conclure en justifiant que l'on a \(\widehat{\text{FPA}}=\widehat{\text{HPJ}}\).